43.1 Introduction to cobyla

fmin_cobylaは Powell[1][2][3]による Fortran制約最適化ルーチンCOBYLAの(f2clによる)Common Lisp翻訳です。

COBYLAは X上の形式g(X) >= 0のM個の不等式制約を条件として目的函数F(X)を最小化します。 ここで、XはN個の成分を持つ変数のベクトルです。

等式制約g(X)=0は、 よく、不等式制約の組g(X)>=0と-g(X)>= 0で実装することができます。 MaximaのCOBYLAインターフェースは等式制約を受け入れ、 内部的に等式制約を不等式制約の組に変換します。

アルゴリズムは目的函数や制約函数の線形近似を用います。 変数空間内のN+1点での線形補間で形成された近似です。 補間点は単体の頂点としてみなされます。 パラメータRHOは単体のサイズを制御し、 RHOBEGからEHOENDに自動的に減らされます。 それぞれのRHOで、 サブルーチンは 現在のサイズにとって変数の良いベクトルを達成しようとし、 そして、RHOは値RHOENDに達するまで減らされます。 それゆえに、RHOBEGとRHOENDはそれぞれ、変数への合理的な初期変化と 変数に要求される精度に設定されるべきですが、 この精度は、保証はないので、実験の対象として見るべきです。 ルーチンは、 変数の変化を計算する時、 制約を単一のペナルティ函数にひとまとめにせずに、 制約それぞれを個別に扱います。 サブルーチン名は the phrase Constrained Optimization BY Linear Approximations(線形近似による位相制約下最適化)に由来します。

参考文献:

[1] Fortran Codeはhttp://plato.asu.edu/sub/nlores.html#generalから

[2] M. J. D. Powell, "A direct search optimization method that models the objective and constraint functions by linear interpolation," in Advances in Optimization and Numerical Analysis, eds. S. Gomez and J.-P. Hennart (Kluwer Academic: Dordrecht, 1994), p. 51-67.

[3] M. J. D. Powell, "Direct search algorithms for optimization calculations," Acta Numerica 7, 287-336 (1998). Also available as University of Cambridge, Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, Numerical Analysis Group, Report NA1998/04 from http://www.damtp.cam.ac.uk/user/na/reports.html

43.2 Functions and Variables for cobyla

関数: fmin_cobyla (F, X, Y) ¶

関数: fmin_cobyla (F, X, Y, optional_args) ¶

オプションの制約の組を条件として多変数Xに関する式Fの近似的最小を返します。 YはXに対する初期推測のリストです。

Fは関数名やラムダ式ではなく、通常の式でなければいけません。

optional_argsは、 symbol = valueのように指定される付加的な引数を表します。 認識されるオプションの引数は以下の通りです:

constraints

Xが満たさなければいけない不等式と等式の制約のリスト。 不等式制約は、 形式g(X) >= h(X)もしくはg(X) <= h(X)の 実際の不等式でなければいけません。 等式制約は 形式g(X) = h(X)のものでなければいけません。

rhobeg

単体のサイズを制御する内部RHO変数の初期値(デフォルトは1.0)。

rhoend

要望される最終値rhoパラメータ。 近似的に変数の精度です。(デフォルトは1d-6)

iprint

冗長な出力レベル(デフォルトは0)。

• 0 - 出力なし
• 1 - 計算終了時にまとめ
• 2 - 変数のベクトルやRHOが減らされる時のある函数情報と一緒に、 RHOとSIGMAのそれぞれの新しい値が印字されます。
• 3 - 2と同様ですが、F(X)が計算される時情報が印字されます。

maxfun

函数評価の最大回数(デフォルトは1000)。

返す時、ベクトルが与えられます:

1. 最小を与える変数の値。 これは Xの中にリストされた変数のそれぞれに関する 形式var = valueの 要素のリストです。
2. 最小化された函数値
3. 函数評価の回数
4. 以下の意味を持つリターンコード
   1. 0 - エラーなし。
   2. 1 - 函数評価の最大回数の上限に到達した。
   3. 2 - 進行を妨げる丸め誤差。

load("fmin_cobyla")はこの関数をロードします。

関数: bf_fmin_cobyla (F, X, Y) ¶

関数: bf_fmin_cobyla (F, X, Y, optional_args) ¶

この関数は、 多倍長浮動小数点演算が使われること、 rhoendのデフォルト値が10^(fpprec/2)であることを除いて、 fmin_cobylaと同一です。

更に知るにはfmin_cobylaを参照してください。

load("fmin_cobyla")はこの関数をロードします。

43.3 Examples for cobyla

x1*x2を1-x1^2-x2^2 >= 0の条件で最小化します。 理論的解はx1 = 1/sqrt(2), x2 = -1/sqrt(2)です。

(%i1) load("fmin_cobyla")$

(%i2) fmin_cobyla(x1*x2, [x1, x2], [1,1], 
                  constraints = [x1^2+x2^2<=1], iprint=1);

   Normal return from subroutine COBYLA

   NFVALS =   66   F =-5.000000E-01    MAXCV = 1.999845E-12
   X = 7.071058E-01  -7.071077E-01
(%o2) [[x1 = 0.70710584934848, x2 = - 0.7071077130248], 
       - 0.49999999999926, [[-1.999955756559757e-12],[]], 66]

追加の例はshare/cobyla/exディレクトリにあります。